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이발사 패러독스 (ZFC 공리계)
2022.07.25 조회수 : 208

여러분 안녕, 배티입니다.


오늘 수업은 <이발사 패러독스 (ZFC 공리계)> 입니다.
지금부터 스탈트합니다!



 


20세기 최고의 지성, 버트런드 러셀은
평생 지식을 탐구하고, 사랑을 갈망했던
지성과 열정의 아이콘이었습니다.

오늘은 러셀이 던진 작은 돌맹이가
수학계 전반에 토네이도를 일으킨 사건!
<러셀의 이발사 패러독스>입니다. 






1900년 파리에서 열린 제2회 세계수학자대회(ICM)!
현대 수학의 선장 힐베르트가 역사적인
<23개의 문제>를 던지며 기조 연설을 시작합니다. 





“모든 문제는 답이 있거나, 없음을 밝힐 수 있으며
수학 사전에 불가능은 없습니다.”


청중들은 우뢰와 같은 박수로 환호했고
<수학은 완전하다>고 믿게 되었습니다.

그런데
이로부터 3년 뒤인, 1903년 !
서른 초반의 철학자 러셀이

돌맹이 하나를 툭 던집니다. 







<이발사 패러독스>입니다.

세비아의 어느 마을에 이발사가 있습니다.
이발사는 입구에 이렇게 붙여놓았습니다. 






헐 그렇다면, 이발사의 면도는 누가 해주나요?

셀프 면도를 하면, 면도를 안해줘야 하니 모순이고
셀프 면도를 안하면, 면도를 해줘야 하니 모순입니다.


중이 제 머리 못깍는다는 말이 떠오릅니다.

<이발사의 역설>로 각색된 오리지널 버전
<러셀의 역설>은 원래 집합(set) 이야기입니다. 






   또한, 모든 집합을 원소로 가지는 집합 S★에 대하여
 S는 S★에서 자신을 원소로 갖는 집합을 버렸으므로
 S는 S★의 부분집합입니다.





그런데, 위에서 S라는 집합 자체가 모순이므로
S★의 부분집합 중 하나가 사라지는 일이 발생합니다.

(대.왕.모.순)





<러셀의 패러독스>는 칸토어가 만들어준
집합론이라는 낙원에 지진을 일으켰으며,
수학자들은 “집합이 뭐지?” 부터 다시 생각하게 되었습니다. 




오늘날 칸토어가 만든 집합론을
나이브(naive) 집합론 이라고 하는데,

나이브 집합론에서 집합의 정의는
조건을 만족하는 대상의 모임입니다. 



그런데,
부자가 아닌 사람이 부자가 되려면
부자의 정의를 바꾸면 됩니다.

수학자 체르멜로와 프랭켈은
<러셀의 패러독스>의 모순을 해결하기 위해
 집합을 새롭게 정의합니다.

의 탄생 !  





자신들의 이름과 선택공리(Axiom of Choice)를  
합쳐 이름을 짓고,
새로운 집합론을 만들었습니다.  





ZFC공리계에서 모든 것들의집합은 집합이 될 수
없었기에 <러셀의 패러독스>해결할 수 있었습니다. 






급한 불은 껐지만, ZFC공리계가 가지는
새로운 문제점이 생겨났고, 그동안 집합론으로
정의했던 수학의 많은 부분들을 재정립해야
하는 후폭풍이 밀어닥쳤습니다.  

러셀이 던진 <패러독스>라는 돌맹이 하나가
수학계 전체에 토네이도를 일으킨 것입니다. 





<수학은 완전하다>고 믿었던 힐베르트의 꿈은
<러셀의 패러독스>에 의해, 그로키 상태가 되고
1931년 <괴델의 블완전성 정리>가 발표되면서
처참하게 무너지게 됩니다.  





<이발사 패러독스>의 버트런드 러셀은 99년의 일생동안
40여권의 책을 집필하였으며, 1950년 <노벨문학상>을
수상하는 기염을 토합니다. 





대표작 중 하나인 <게으름에 대한 찬양> 에서  
러셀은 모든 사람이 하루에 4시간만 일하는
게으른 삶을 찬양합니다.





 하지만, 정작 그는 하루에 4시간만 자고 일했을 것 같습니다.  

러셀의 가장 큰 모순은 <이발사 패러독스>
아니라
<게으름에 대한 찬양>인 것 같습니다. 

 

지금까지 배티였습니다. Bye~



 

 
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