내가 중고등학교 때,  누구나 한번쯤 생각해 보았던 아르바이트가  

신문배달, 우유배달이었다.  

신문배달을 하다보면 누구나 요령이 생긴다.  

신문을 예쁘고 빠르게 접는 요령 

신문에 삽지를 넣는 요령 

신문을 잘 던져서 2층집 현관앞에 딱 위치시키는 요령 

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그중 백미는 .... 신문 돌리는 동선을 짜는 요령이다.  

신문을 하루에 100부 이상을 돌리는 고수들은  

어떻게든지 모든 길을 한번씩만 거쳐서 처음 출발했던  

보급소로 돌아오는 경로를 짜서 다니곤 했다.  

이와 같은 고민은 18C 스위스의 수학자 오일러에 의해 본격적으로 연구되었다.   

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다음은 오일러가 연구했다는 쾨니히스베르그의 다리 문제이다.

(쾨니히스베르그는 현재 러시아의 칼리닌그라드에 해당하는 지역이다) 

 쾨니히스베르크 지역에는 그림과 같이 강이 흐르고 있고 

A, B, C, D, E 다섯 지역에 그림과 같이 7개의 다리가 놓여있었다.  

이때, 오일러는 어느 지점에서 출발하여 모든 다리를 한번씩만 건너서 

출발지점으로 되돌아오는 경로가 존재하는지 연구하였고 

" 그런 경로는 없어 !!! " 

라고 발표하였다.  

오일러는 오른쪽의 그림과 같이 다섯지역을 점으로 표시하고 

각각의 다리를 선으로 표시하는 그래프 이론(위상기하의 아이디어)를 도입하여 

어떤 점에서 출발해도 모든 선을 한번씩만 지나 제자리로 돌아오는 방법은 없음을 설명하였다.  

이와 같이 모든 선을 한번씩 지나 그림을 그리는 경로를  

한붓그리기 경로 또는 오일러 경로 

라고 부르며, 특별히 출발점과 끝나는 점이 같을 때를  

한붓그리기 회로 또는 오일러 회로  라고 부른다.  

※ 회로와 경로의 차이는 회로의 '회'자가 한자로 돌아올 회(回) 라는 것을 생각하면

이해하기 쉽다. 회로는 [제자리로 돌아오는 경로] 라고 이해하면 된다.

그럼, 도대체 어떤 그림이 한붓그리기가 가능한 그림이고 어떤 그림이  

불가능한 그림인지 생각해보자.  

문제) 다음 중 한붓그리기가 가능한 그림을 찾아보고, 한붓그리기가 가능한 경우 

한붓그리기 회로인지 한붓그리기 경로인지 구분해 보아라.  (충분히 시간을 갖고 실험할것)

[답]  (1) 불가능   (2) 한붓그리기 경로(출발점≠도착점)   (3) 한붓그리기 회로(출발점=도착점).

푸는 방법은 다음과 같다.

우선 각 지점의 차수(연결된 선의 개수)를 조사한다 

  이때, 한붓그리기가 가능한 경로 또는 회로는 점의 차수가 홀수인점이 

 2개 또는 없다   

 (1)번의 경우 점의 차수가 홀수인점이 4개나 되면 한붓그리기가 불가능하다. 

(2)번의 경우 점의 차수가 홀수인점이 두개가 있을때는 한붓그리기가 가능하다.  

이때, 아랫쪽에 차수가 홀수인 지점의 개수가 두개가 있는데 이 두지점 중  

한점이 출발점, 한점이 도착점이 된다.  

이와 같이 지점의 차수가 홀수인 점이 두개 있을때는 오일러경로(회로×)가 된다. 

(3)번의 경우 차수가 홀수개인 점이 없고 모든 지점의 차수가 짝수일때는  

모든점이 출발점이 될 수 있고 제자리로 돌아오는 오일러회로(출발점=도착점)가 된다. 

정리하면 다음과 같다.

왜 출발점과 도착점이 다른 경우 두점의 차수만 홀수일까..  

첫번째 그림은 출발점을 뜻하는데.... 출발하는 선(start) 하나가 더있다

마찬가지로 두번째 그림은 도착점을 뜻하는데... 도착하는 선(finish) 하나가 더있다.  

하지만 세번째 그림은 중간경유지로 세 도로가 지나가는 지점으로 차수는 짝수가 된다. 

왜냐하면 한번 지나갈때마다 연결된 선이 두개씩 생기니까... 

이와같이 오일러 경로는 출발점과 도착점의 차수만 홀수가 될 수 밖에 없다. 

또한 오일러 회로는 출발점=도착점 이므로 출발점의 차수조차 짝수이므로 

모든 점의 차수가 짝수가 된다.  

집에 있는 모든 전기선도 처음 나오는 곳과 마지막으로 들어가는 곳은 선이 하나지만

중간에 연결된 곳은 반드시 들어가는 선과 나가는 선이 있으니 당연한 결과 !!! 

우리 몸과 같다. (펭귄 아님)

입(입력부위)와 HANG문(출력부위) 에는 연결된 선이 하나(홀수개)이지만  

위장(중간경유지)에는 연결된 선이 두개(짝수개)임을 알수 있다.  

 신문사 여러분~~~ 한붓그리기가 가능한 오일러회로를

 잘 짜시면~~~ 더 효율적으로 신문을 돌리실 수 있습니다. ^^ 

(당연히 잘 아시겠지만요) 

이제 신문마저 수학입니다. 피할수 없으면 즐기자구요 !