모든 자연수 n에 관하여 성립하는 이론이 있다.

예컨대, 교실안에 n명의 학생이 있을때, 서로 다른 두 학생까리

한번씩 악수를 한다면 악수의 총 횟수는?
 

 정답   n(n-1)/2 

이러한 이론을 증명함에 있어

1명의 학생이 있을때....

2명의 학생이 있을때....

3명의 학생이 있을때....

4명의 학생이 있을때....

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자연수의 개수가 무한히 많이 있기 때문에

영원히 끝나지 않는 증명 (일명 : 무한증명^^) 이 될 것이다.

그렇다면, 자연수 n에 관한 명제 P(n)을 완벽하게 증명하는 방법은 없을까 ???

이 완벽한 방법이 도미노의 원리와 같은 수학적 귀납법이다.

수학적 귀납법으로 자연수 n에 관한 명제 p(n)을 증명하는 방법은 다음과 같다.

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1) n=1 일때 P(1)이 성립함을 증명한다.    

2) n=k 일때, P(k)가 성립한다고 가정하면

?[이 가정을 이용하여]

n=k+1 일때, P(k+1) 이 성립하면 된다.
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     즉,  1) 에서 P(1) 이 참이 되고                                      

2) 에서 P(1) ☞ P(2) ☞ P(3) ☞ P(4) ☞ P(5)  ....

가 순차적으로 참이 되는 것이다.

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명제) 교실안에 n명의 학생이 있을때 서로 다른 두 학생끼리

한번씩 악수를 한다면 악수의 총 횟수는 n(n-1)/2  ☞ ★

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1) n=1 일때, 교실안에 1명의 학생이 있다... 혼자서 악수를 하지는 않으니까

악수하는 횟수는 0번인데...  ★에 n=1 을 대입하여보면

1(1-0)/2 = 0 이므로 성립 !!!!

?

2) 만약 n=k일때  ★이 성립한다고 가정하면

교실안에 k명의 학생이 있을때, 악수 횟수는 k(k-1)/2 라 할수있다.

이때, 갑자기 나타난 한명의 NEW학생
 

(출처 : 엘리트 교복 홈페이지)
 

NEW 학생이 갑자기 나타나서 기존 k명과 악수를 일대일로 하면

NEW 학생을 포함한 k+1 명의 악수횟수는

k(k-1)/2 + k (기존 k명끼리의 악수횟수+김수현과의 악수횟수) 가 되고

통분 후, 정리하면 k(k-1)/2 + k = (k+1)k/2 가 된다.

 즉, ★은 n=k+1 일때도 성립하게 된다.

1), 2) 에 의해 모든 자연수 n에 대하여  ★이 성립한다.

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이것이 수학적 귀납법이다.

비슷한 이야기를 하나 더 !

전교생이 무한명인 학교가 있다. 일명..... 무한스쿨

?

2번과 .... 하이파이브

3번과 ..... 하이파이브

4번과 ..... 하이파이브

.

.

이렇게 하다가는 교장선생님이 인생사 이내에 하이파이브를 다 할 수 없다.

그래서... 이런 무한스쿨에서 전교생과 하이파이브를 할 때는

1) 교장선생님이 1번 학생과 하이파이브를 한다.

2) k번 학생이 앞 학생과 하이파이브를 하면, k번 학생은 

k+1번 학생과도 하이파이브를 하여야 한다.

이 두가지의 논리로... 전교생이 하이파이브를 하게 되어있다.

앞의 도미노 넘어지면 뒤의 도미노를 반드시 쓰러뜨린다는 가정하에

첫번째 도미노만 잘 넘어뜨리면... 첫번째 도미노가 두번째 도미노를

두번째 도미노가 세번째 도미노를 세번째 도미노가 네번째 도미노를 ......

.....................................................

하나만, 넘어뜨렸을 뿐인데.... 무한 도이노를  다 쓰러뜨릴 수 있게 된다.
 

[   도미노의 원리를 이용한 수학적 귀납법, 앞으로 자연수에 관한

         명제(이론)을 증명할 때, 한번 씩 사용하면 매우 유용할 것이다.   ]